Geometri, (Sepak)Bola, dan Geometri Bola

Apa sih Matematika itu? Mungkin banyak yang akan jawab kalau Matematika itu ilmu soal hitung-hitungan. Nggak sepenuhnya salah sih, tapi nggak sepenuhnya benar juga. Yuk kita ngobrol sedikit tentang sisi Matematika yang bukan hitung-hitungannya. Tenang, dijamin nggak bikin pusing kok obrolannya.

Buat saya, Matematika itu mirip sama olahraga permainan. Olahraga permainan punya aturan dasar dan aturan turunan. Misalnya aja dalam sepakbola ada aturan dasar: “Di dalam lapangan, bola nggak boleh kena tangan pemain selain keeper”. Pasti aturan dasar ini punya konsekuensi logis (kita panggil saja aturan-aturan turunan), contohnya: nggak boleh tangkap bola, nggak boleh pukul bola, nggak boleh nyikut bola dll. Nah kalau kita mau ajak teman yang belum pernah main bola, pasti perlu kasih tahu aturan mainnya. Tapi tentunya kita nggak akan mau kasih tahu semua aturan dasar dan turunannya dong; bisa ada ratusan atau ribuan kalau mau sedetail mungkin. Biar singkat, kita mau cukup kasih tahu aturan dasarnya saja.

Nah, Matematika juga begitu, aturan mainnya banyak tapi seringkali kurang jelas yang mana yang dasar yang mana yang turunan. Atau malah jangan-jangan di Matematika semua aturan itu dasar? Nggak ada yang jadi sebab dan yang jadi akibat? Nah ribuan tahun yang lalu, ada filusuf keren bernama Euclid yang menjawab pertanyaan ini. Dan jawabannya keren banget: Geometri itu cuma punya 5 aturan dasar

  1. “To draw a straight line from any point to any point.”
  2. “To produce [extend] a finite straight line continuously in a straight line.”
  3. “To describe a circle with any centre and distance [radius].”
  4. “That all right angles are equal to one another.”
  5. The parallel postulate: “That, if a straight line falling on two straight lines make the interior angles on the same side less than two right angles, the two straight lines, if produced indefinitely, meet on that side on which are the angles less than the two right angles.”
From storyofmathematics.com

Terus kenapa ini keren banget? Paling nggak karena beberapa alasan dan pertanyaan ini nih:

  1. Tentunya geometri jaman sekarang jauh lebih rumit daripada geometri di jaman Euclid ini (sekarang sih nama ngetopnya: Geometri Euclid). Tapi bukan berarti Geometri Euclid nggak punya beragam variasi. Dan semua keragaman itu bisa dirunut balik dari 5 aturan aja. Wow banget kan? Sepakbola juga pasti susah lho untuk cuma punya 5 aturan dasar yang relatif pendek.
  2. Banyak aturan di geometri yang kesannya obvious banget, misalnya yang satu ini: “Dua garis berbeda yang berpotongan pasti hanya berpotongan di satu titik”. Pasti kamu mau bilang “ya iya lah bro”. Nah kenapa bukan aturan ini “ya iyalah” ini yang jadi aturan dasar? Bagaimana Euclid bisa tahu (atau nebak) kalau aturan ini turunan dari 5 aturan di atas? Kenapa 5 di atas yang jadi aturan dasar? Kenapa kok cukup 5 aturan saja?
  3. Bagaimana Euclid tahu kalau dalam 5 ini semuanya adalah aturan dasar? Mungkinkah ada satu aturan yang (entah bagaimana caranya) merupakan turunan dari yang lain? Kenapa nggak bisa cuma 4 aturan? Bagaimana dia yakin bahwa semua turunan dari 5 aturan ini tidak akan ada yang saling kontradiksi?

Nah, dari analogi ini kelihatan juga bedanya Matematika dengan Ilmu Pengetahuan Alam. Walaupun IPA juga mencari aturan dasar paling sederhana (misalnya Hukum Newton yang cuma 3 kalimat atau persamaan Maxwell yang hanya 4 persamaan) tapi aturan Matematika seperti aturan permainan olahraga bukan sesuatu yang benar, tapi cuma dianggap benar. Peran aturan dasar Matematika lebih sebagai aturan main; secara umum belum tentu benar, tapi dalam permainan dianggap sebagai kebenaran. Ini sebabnya kenapa hukum Fisika perlu diuji kebenarannya dengan eksperimen tetapi aksioma Matematika tidak perlu dibuktikan kebenarannya. Jadi kalau ada yang bilang aksioma itu adalah kebenaran yang tidak perlu dibuktikan lagi itu sebenarnya bukan karena aksioma pasti benar, sama seperti “bola tak boleh kena tangan” itu nggak selalu benar. Pasti kalau main bola basket “bola tak boleh kena tangan” itu tidak benar, tapi kalau sedang bermain sepakbola tentunya aturan satu ini nggak perlu kita pertanyakan lagi.

Setelah Euclid, bermain dengan aturan dasar (aksioma) dan coba mendapat aturan turunan (proposisi, teorema, lemma, akibat) jadi pekerjaan utama orang-orang kurang kerjaan keren yang disebut matematikawan, termasuk saya 😀 Mungkin teman-teman sudah biasa dengar matematikawan itu suka mencari teorema dan formula, tapi mungkin nggak banyak yang tahu kalau kami juga suka mencoba buat permainan baru dengan bola dan lapangan (objek-objek) baru dan aturan-aturan baru. Ini cukup menantang lho. Tantangannya adalah membuat aturan dan objek olahraga baru yang cukup menarik, tidak boleh terlalu bebas (general) atau restriktif. Harus pas biar menarik dan berguna. Jangan terlalu banyak atau terlalu sedikit aturan. Mendefinisikan operasi matematika tanpa syarat seperti asosiatif atau komutatif ibarat sepakbola tanpa aturan tentang gol dan skor permainan. Pasti nggak seru kan nonton 22 orang yang berlarian berebut bola tanpa tujuan.

Fun Fact: Selama ratusan tahun, banyak ahli yang percaya dan coba buktikan kalau aksioma ke 5 Euclid adalah turunan dari 4 aksioma lainnya. Tapi gimana kalau mau buktikan sebaliknya?  Ambil contoh ini: Permainan Sepakbola1 adalah permainan yang didefinisikan sebagai permainan yang menaati 10 pasal. Misalkan juga Sepakbola2 adalah permainan yang menaati pasal 1-9 dari Sepakbola1. Bisa nggak Sepakbola2 dimainkan berbeda dari Sepakbola1? Kalau bisa, maka pasti pasal 10 bukan turunan dari pasal 1-9, tapi kalau nggak bisa maka pasal 10 adalah konsekuensi dari 1-9. Kalau bingung, kita ambil contoh kalau pasal 9: “Bola tak boleh kena tangan” dan pasal 10: “Tidak boleh lempar bola”. Di contoh ini, Sepakbola2 pasti sama saja dengan Sepakbola1 karena walaupun pasal 10 nggak ada di Sepakbola2 tetap saja pemain nggak boleh lempar bola karena larangan pasal 9.

Mirip seperti kasus Sepakbola 1 dan 2 di atas, ternyata ada lho sistem-sistem Geometri yang memenuhi aturan 1-4 tapi melanggar 5. Artinya pasal 5 Bung Euclid memang bukan konsekuensi dari pasal 1-4. Salah satunya adalah Geometri “Permukaan” Bola (Spherical Geometry). Ternyata jarak terpendek antara dua titik di permukaan bola adalah segmen dari great circle (lingkaran yang membelah bola menjadi 2 bagian sama luas, contohnya garis khatulistiwa dan garis bujur) antara mereka. Karena umumnya kita ingin segmen garis antara 2 titik adalah jalur terpendek yang menghubungkan, maka great circle inilah yang cocok kita definisikan sebagai “garis” di Spherical Geometry. Unik ya? Karena ini artinya jarak terpendek antara 2 titik yang berada di lintang yang sama (tapi bukan di khatulistiwa) pasti bukan melalui garis lintangnya. Dan bisa dicek kalau geometri ini memenuhi aturan 1-4 tapi melanggar aturan 5 karena tiap 2 great circle akan bertemu di tepat 2 titik. Contohnya garis bujur yang pasti bertemu garis bujur lain dan garis khatulistiwa di tepat 2 titik. Salah satu penerapan konsep satu ini adalah navigasi jarak terpendek untuk pesawat terbang, kalau tertarik monggo googling sendiri “Great Circle Navigation” 😉

From timeandnavigation.si.edu

Untuk penjelasan Matematika sederhana lainnya dari saya, silahkan klik di sini

Advertisements

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s