Berkenalan dengan Catastrophe Theory

Pitchfork bifurcation at on the surface
Pitchfork bifurcation at on the surface (Photo credit: Wikipedia)

Barusan saat sedang beres-beres file, saya ketemu sebuah file yang judulnya Berkenalan dengan Catastrophe Theory.doc. Ternyata ini adalah tulisan saya beberapa tahun yang lalu untuk tugas kuliah Bahasa Indonesia di ITB, tahun 2007 sepertinya. Saya copy paste saja yah ke sini, malas edit-edit lagi. Mudah-mudahan bermanfaat

Berkenalan dengan Catastrophe Theory

Catastrophe Theory adalah salah satu cabang yang cukup baru dalam ilmu matematika. Teori tersebut biasanya dibahas sebagai pengenalan terhadap teori bifurkasi dan sistem dinamik, dua bidang penelitian yang sangat aktif dalam matematika. Dunia Matematika sendiri baru berkenalan dengan teori ini sekitar tahun 1960 dan teori ini baru dikenal luas para matematikawan sekitar tahun 1970. Teori ini diperkenalkan oleh Rene Thom, seorang matematikawan Prancis, pada Konferensi Matematika Internasional ICM pada tahun 1958. Pada saat itu Thom menerima medali Fields (penghargaan tertinggi dalam bidang matematika yang mungkin dapat dianggap seperti nobel untuk matematika) atas karyanya klasifikasi dari tujuh buah catastrophe dasar.

Dalam bahasa sehari-hari catastrophe dapat diartikan sebagai malapetaka yang tidak disangka-sangka sebelumnya atau bencana alam, contohnya gempa bumi, kejatuhan harga saham mendadak, atau serangan jantung. Bencana tersebut tidak disangka-sangka karena semua perubahan yang mempengaruhi kejadian berubah secara perlahan-lahan. Akan tetapi sebuah diskontinuitas, suatu lompatan radikal, hadir dan menghancurkan segala keteraturan. Hal inilah yang dipelajari dalam catastrophe theory, yaitu dampak dari perubahan yang nyaris tidak dapat dirasakan menghasilkan akibat yang dapat melemparkan suatu sistem yang berperilaku baik menjadi liar.

Terdapat perbedaan antara catastrophe theory, dengan chaos theory yang sudah terlebih dahulu dikenal orang. Chaos theory membicarakan tentang sebuah sistem yang rumit, tak dapat diperkirakan dan tidak dapat disederhanakan, atau dapat disebut liar dari awal. Sedangkan catastrophe theory umumnya membicarakan sistem sederhana, berperilaku baik dan teratur, menganalisis titik-titik kritisnya dan menjelaskan lompatan-lompatan radikal yang terjadi saat melewati titik-titik tersebut secara kontinu atau perlahan-lahan. Bagaimanapun kedua teori tersebut memang memiliki kemiripan dan materinya kerap beririsan, dan seringkali metode analisis yang diterapkan serupa. Chaos theory juga memiliki hubungan yang erat dengan teori bifurkasi dan sistem dinamik. Keduanya juga merupakan teori yang sangat cantik dan menarik untuk dipelajari.

Salah satu jantung catastrophe theory adalah tujuh catastrophe dasar Thom. Klasifikasi tujuh catastrophe dasar ini disusun oleh Rene Thom berdasarkan persamaan matematika yang terlibat dan struktur umum yang dapat diamati. Tujuh catastrophe dasar tersebut berturut-turut dari yang paling sederhana adalah fold, cusp, swallowtail, butterfly, hyperbolic umbilic, elliptic umbilic dan parabolic umbilic. Alasan ketujuh catastrophe dasar ini sangat penting adalah karena saat parameter yang digunakan lebih dari lima, akan muncul tak hingga banyaknya jenis catastrophe, sedangkan untuk banyaknya parameter kurang dari lima hanya terdapat tujuh catastrophe tersebut. Artinya di bidang apapun seseorang menganalisis masalahnya dengan matematika dan mendapatkan model matematika yang mempunyai parameter kurang dari lima, hanya salah satu dari tujuh kasus tersebut yang mungkin terjadi. Hal ini akan sangat menguntungkan; seorang nonmatematikawan dapat menyelesaikan permasalahannya tanpa harus melakukan perhitungan matematika yang rumit. Dalam analisis masalah, orang tersebut hanya perlu mengidentifikasi jenis catastrophe yang dihadapi dengan dan otomatis mengetahui sifat-sifat umum catastrophe tersebut yang sudah disusun oleh Thom, tanpa perlu mengulangi analisis yang dilakukan oleh Thom.

Selain Rene Thom, ilmuan yang sangat kontributif bagi perkembangan catastrophe theory adalah  seorang matematikawan Inggris Sir Christopher Zeeman. Zeeman menemukan mesin catastrophe Zeeman, sebuah alat peraga yang yang dapat menggambarkan lompatan radikal yang kompleks secara sangat sederhana. Selain itu Zeeman juga menunjukkan contoh penerapan catastrophe dalam bidang kedokteran yaitu model matematika untuk jantung dan model matematika untuk impuls syaraf. Popularitas catastrophe theory pada saat ini pun dapat dikatakan merupakan hasil usaha Christopher Zeeman dalam merangkum karya rumit Thom sehingga dapat ia diajarkan pada tingkat sarjana di Universitas Warwick. Karena sangat populernya kelas Zeeman waktu itu, sebagian besar mahasiswa yang menghadiri kuliah terpaksa mengikuti kuliah tersebut sambil berdiri.

Penerapan dari catastrophe theory tidak hanya pada bidang sains, dan teknik tetapi juga pada bidang kemanusiaan. Dalam bidang fisika, penerapan dari teori cantik ini dapat ditemukan pada mekanika klasik, mekanika struktural, dinamika fluida, optik, termodinamika, dan meteorologi. Selain itu dapat pula ditemukan penerapan dari catastrophe theory dalam biologi, ekologi dan kedokteran.  Penerapan dalam bidang kemanusiaan mencakup sosiologi, ekonomi dan linguistik. Beberapa penerapan dari catastrophe theory memang harus diakui cukup kontroversial, tetapi teori matematika yang dilibatkan tentu saja tidak dapat diperdebatkan, karena kontroversi tersebut dihasilkan dari asumsi-asumsi terhadap masalah.

Catastrophe theory terbukti merupakan peralatan yang sangat ampuh bagi seorang matematikawan. Baik matematikawan murni maupun terapan akan terpesona melihat keindahan, kesederhanaan dan kekuatan teori ini. Sayangnya di Indonesia teori ini tidak diperkenalkan di tingkat kuliah sarjana. Selain itu, sampai saat ini belum ada matematikawan di Indonesia meneliti di bidang ini secara mendalam. Harapan kita adalah di masa mendatang hadir matematikawan yang mampu menghasilkan karya-karya bertaraf internasional dari bidang ini.

Dari Algebraic Topology ke Aljabar

Leonhard Euler (1707–1783), mathématicien et p...
Leonhard Euler (1707–1783), mathématicien et physicien suisse (Photo credit: Wikipedia)

Dari Algebraic Topology ke Aljabar adalah judul slide presentasi saya dalam seminar KK Aljabar di ITB pertengahan bulan Mei lalu. Klik link nya untuk mengunduh slide.

Pada bulan Mei lalu, saya diminta untuk mengisi seminar di KK Aljabar ITB mengenai Algebraic Topology. Yang terpikir untuk saya presentasikan adalah cerita bagaimana Aljabar diaplikasikan di Topologi (Algebraic Topology) dan pada akhirnya hasilnya diaplikasikan kembali ke Aljabar (Homological Algebra). Rangkuman cerita yang menemani slidenya kira-kira sebagai berikut:

Pada awalnya topologi adalah studi terhadap bentuk (yang tidak terikat koordinat) dan agak berbeda dari topologi yang umum dipelajari saat ini (himpunan buka, fungsi kontinu dst). Studi topologi diawali oleh ketertarikan Leonhard Euler terhadap Graf dan Platonic Solids. Euler menemukan bahwa ada suatu “invarian” atau suatu rumus yang selalu dipenuhi oleh platonic solids dan graf yaitu #titik – #rusuk + #sisi = 2. Hal ini meyakinkan Euler bahwa terdapat sesuatu pola pada bentuk-bentuk ini yang tidak tergantung pilihan koordinat, inilah ide dasar dari Topologi.

Karena bentuk-bentuk ini tidak lagi bergantung koordinat. Dua buah bentuk yang “dianggap sama” bisa terlihat sangat berbeda, salah satu contoh terkenalnya adalah anekdot Donat dan Mug. Hal ini berujung kepada pertanyaan, kapankah dua bentuk topologi dapat dikatakan sama (homotopic) atau berbeda? Ternyata, membuktikan dua bentuk sama atau berbeda tidak mudah, oleh karena itu dicari dan didefinisikan invarian-invarian yang dapat membantu membedakan bentuk. Jika dua bentuk punya invarian yang sama, maka kedua bentuk itu tidak sama.

Ada berbagai jenis invarian yang dipelajari di Algebraic Topology, antara lain grup homotopy, grup homology (komutatif) dan ring cohomology. Tiga invarian ini juga terdefinisi untuk morfisma antara bentuk topologi. Ketiga invarian inilah yang pada tahun 40an menginspirasi lahirnya Category theory. Di slide tersebut diberikan salah satu contoh cohomology yaitu De Rham cohomology dan satu contoh homology yaitu simplicial homology. Aljabar banyak sekali memiliki aplikasi pada singular homology, salah satu bentuk homology yang susah dihitung tetapi sangat ampuh untuk theorem proving. Di akhir slide, diceritakan juga motivasi lahirnya Derived Category.

Metode-metode yang diaplikasikan di Algebraic Topology seperti pengambilan homology, category theory dan derived category ternyata sangat ampuh diaplikasikan kembali di Aljabar. Alasan pasti mengapa metode-metode ini (dikenal sebagai Homological Algebra) bisa seampuh itu masih belum diketahui. Pendek kata, Algebraic Topology akan sangat berguna dipelajari oleh para Algebraist baik dari sisi kepentingan sejarah maupun dari segi aplikasi dan kontribusi kepada ilmu Aljabar sendiri.

Various Disguises of Euler Characteristic

I want to share a paper I wrote about 3,5 years ago about Euler Characteristic. Euler Characteristic is a number to help us distinguish one manifolds from another. In this paper, I don’t write one or two.. but four different equivalent definitions of Euler Characteristic. Well probably not really equivalent but if we restrict our case to orientable compact differentiable manifolds, then they are indeed equivalent. One definition is  combinatorial while another one may be more geometrical in nature, or algebraic or even involves integral calculus in manifolds. This is the first time I see the interplay of so many branches of Mathematics at once. Also, on after each definition I give example (with pictures :)) on which case the definition can be used to compute Euler Characteristic easily. Download the paper here

Kemacetan Jakarta Adalah Prisoner’s Dilemma

Although being out of prison is necessary to n...
Image via Wikipedia

Prisoner’s dilemma adalah contoh paling mudah dari analisis game theory. Saya cerita sedikit ya untuk yang belum tahu.

Ada dua orang yang melakukan kejahatan dan akhirnya ditangkap polisi. Karena kurang bukti, akhirnya polisi memisahkan interogasi dua orang ini dan meminta mereka bersaksi bahwa temannya yang bersalah. Kalau satu orang mengadukan partnernya dan satu orang lagi diam, maka yang mengadu akan bebas dan yang diam dihukum setahun penjara. Kalau keduanya diam, mereka berdua hanya akan dipenjara sebulan. Kalau dua-duanya saling mengadu, maka keduanya akan dipenjara 3 bulan.

Marilah kita melihat situasinya sebagai salah satu dari dua orang itu sebagai berikut.

  • Kalau teman saya mengadukan saya dan saya tidak mengadu, saya dipenjara setahun. Kalau saya ikut mengadu, saya dipenjara 3 bulan. Maka kalau teman saya mengadu, lebih untung kalau saya ikut mengadu.
  • Kalau teman saya tidak mengadukan saya dan saya juga diam, saya dipenjara sebulan. Kalau saya mengadu, saya langsung bebas. Jadi kalau teman saya tidak mengadu, tetap lebih untung kalau saya mengadu.

Jadi mengadukan teman (selalu) merupakan keputusan (individual) terbaik untuk meminimalkan waktu dalam penjara. Nah, bayangkan kalau keduanya berpikir begitu, akhirnya mereka berdua saling mengadukan dan mendekam tiga bulan dalam penjara. Padahal kalau mereka sama-sama diam lebih menguntungkan dan bisa bebas dalam sebulan. Inilah secara singkat apa yang disebut sebagai prisoner’s dilemma.

Apa hubungannya dengan kemacetan Jakarta? Salah satu sebab macet di Jakarta adalah semua orang mau cepat sampai tujuan sendiri dan tidak mementingkan yang terbaik bagi semua. Akibatnya terjadilah salip serobot dan pelanggaran-pelanggaran peraturan dan etika berkendara lainnya. Padahal kalau sama-sama tertib, sama-sama antri niscaya perjalanan akan lebih cepat untuk semua. Ya kembali lagi seperti prisoner’s dilemma, bahwa ternyata keputusan terbaik individual bukan keputusan terbaik kolektif dan pada akhirnya merugikan dirinya sendiri sebagai anggota koleksi itu. Yuk sama-sama tertib di jalan 🙂

Untuk penjelasan Matematika sederhana lainnya dari saya, silahkan klik di sini.

Alternative way to remember your Trigonometric Addition formula

An illustration of a complex number plotted on...
Image via Wikipedia

Not the type to remember your formula? Me too

I never remember my formula until one or two days before test and it practically vanished from my mind 5 minutes after the test is over. However, I usually have ways so I can derive them when I need them without peeking at my books.

One of them is trigonometric addition formulas.. You know cos (a+b) = … and sin (a+b) = …

My way to remember them require a little geometric intuition about complex numbers. For every complex number with modulus 1, the number can be written as cos a + i sin a (cis a) for a particular angle a where a is the angle between the vector a and positive x axis. If you multiply the number with another complex number of modulus 1, say cis b, you know that geometrically you just rotate a by angle b. That is, cis a * cis b = cis (a+b).

That way, by calculating the terms on the left side, and by grouping the terms with i and without i, you get your formula for cos (a+b) and sin (a+b) right away. Apply division, then you also get your tan (a+b) as well.

What Universal Property means to me?

Universal property of productFew weeks ago, I read a book that define Ring Localization by using Universal Property (or Universal Mapping Problem). This is not the first time I see definition of Localization of a Ring. However when it is defined by using Universal Property, it seems a lot less intuitive than what I experienced.

This is also not the first time I see some mathematical objects are defined by using Universal Property. Among the first definitions I see, there are Projective and Injective modules, Tensor product, Flat modules, product, pullback, pushout etc. I have encountered some of these definitions before and nearly all of them (if not all) defined in ways that, in my opinion, more intuitive.

This case both on Localization example and other examples makes me wonder why we even bother to define those objects via Universal Property. Speaking from Category Theory point of view, this approach (using Universal diagram etc) is of course the one most suitable and gives more generality. However, I think only being the most suitable is not enough reasons to do this — as my own view is that it is okay to use harder approach if this aid understanding.

I therefore tried to make sense of this approach by looking for another justifications. The first visit to wikipedia resulted in:

Before giving a formal definition of universal properties, we offer some motivation for studying such constructions.

  • The concrete details of a given construction may be messy, but if the construction satisfies a universal property, one can forget all those details: all there is to know about the construct is already contained in the universal property. Proofs often become short and elegant if the universal property is used rather than the concrete details. For example, the tensor algebra of a vector space is slightly painful to actually construct, but using its universal property makes it much easier to deal with.
  • Universal properties define objects uniquely up to isomorphism. Therefore, one strategy to prove that two objects are isomorphic is to show that they satisfy the same universal property.
  • Universal constructions are functorial in nature: if one can carry out the construction for every object in a category C then one obtains a functor on C. Furthermore, this functor is a right or left adjoint to the functor U used in the definition of the universal property.[1]
  • Universal properties occur everywhere in mathematics. By understanding their abstract properties, one obtains information about all these constructions and can avoid repeating the same analysis for each individual instance.

Also, I would like to add another remark to the second bullet. If we know one easy representation of the object, by using the isomorphic argument, we can say something like this: “Let x be an element of … (an object defined by Universal Property) then, x can be written as … (the easy representation)”.

By then, I was almost satisfied with wikipedia’s explanation.But then I discussed with two friends, and one of them argues that “by defining an object by using its Universal Property,  we practically shift our attention from the object itself to object in diagram (another object or morphism)”. He gave example that he found in a paper by saying “When the tensor product of modules A and B are 0? Apparently, it only happens if all bilinear morphism from Cartesian product of A and B are 0 map”. Now that’s a revelation, by using Universal Property definition of tensor product we shift our focus out of A and B to their bilinear morphism .. very neat 😀

Category Theory seems to get brighter 🙂