Dari Algebraic Topology ke Aljabar

Leonhard Euler (1707–1783), mathématicien et p...
Leonhard Euler (1707–1783), mathématicien et physicien suisse (Photo credit: Wikipedia)

Dari Algebraic Topology ke Aljabar adalah judul slide presentasi saya dalam seminar KK Aljabar di ITB pertengahan bulan Mei lalu. Klik link nya untuk mengunduh slide.

Pada bulan Mei lalu, saya diminta untuk mengisi seminar di KK Aljabar ITB mengenai Algebraic Topology. Yang terpikir untuk saya presentasikan adalah cerita bagaimana Aljabar diaplikasikan di Topologi (Algebraic Topology) dan pada akhirnya hasilnya diaplikasikan kembali ke Aljabar (Homological Algebra). Rangkuman cerita yang menemani slidenya kira-kira sebagai berikut:

Pada awalnya topologi adalah studi terhadap bentuk (yang tidak terikat koordinat) dan agak berbeda dari topologi yang umum dipelajari saat ini (himpunan buka, fungsi kontinu dst). Studi topologi diawali oleh ketertarikan Leonhard Euler terhadap Graf dan Platonic Solids. Euler menemukan bahwa ada suatu “invarian” atau suatu rumus yang selalu dipenuhi oleh platonic solids dan graf yaitu #titik – #rusuk + #sisi = 2. Hal ini meyakinkan Euler bahwa terdapat sesuatu pola pada bentuk-bentuk ini yang tidak tergantung pilihan koordinat, inilah ide dasar dari Topologi.

Karena bentuk-bentuk ini tidak lagi bergantung koordinat. Dua buah bentuk yang “dianggap sama” bisa terlihat sangat berbeda, salah satu contoh terkenalnya adalah anekdot Donat dan Mug. Hal ini berujung kepada pertanyaan, kapankah dua bentuk topologi dapat dikatakan sama (homotopic) atau berbeda? Ternyata, membuktikan dua bentuk sama atau berbeda tidak mudah, oleh karena itu dicari dan didefinisikan invarian-invarian yang dapat membantu membedakan bentuk. Jika dua bentuk punya invarian yang sama, maka kedua bentuk itu tidak sama.

Ada berbagai jenis invarian yang dipelajari di Algebraic Topology, antara lain grup homotopy, grup homology (komutatif) dan ring cohomology. Tiga invarian ini juga terdefinisi untuk morfisma antara bentuk topologi. Ketiga invarian inilah yang pada tahun 40an menginspirasi lahirnya Category theory. Di slide tersebut diberikan salah satu contoh cohomology yaitu De Rham cohomology dan satu contoh homology yaitu simplicial homology. Aljabar banyak sekali memiliki aplikasi pada singular homology, salah satu bentuk homology yang susah dihitung tetapi sangat ampuh untuk theorem proving. Di akhir slide, diceritakan juga motivasi lahirnya Derived Category.

Metode-metode yang diaplikasikan di Algebraic Topology seperti pengambilan homology, category theory dan derived category ternyata sangat ampuh diaplikasikan kembali di Aljabar. Alasan pasti mengapa metode-metode ini (dikenal sebagai Homological Algebra) bisa seampuh itu masih belum diketahui. Pendek kata, Algebraic Topology akan sangat berguna dipelajari oleh para Algebraist baik dari sisi kepentingan sejarah maupun dari segi aplikasi dan kontribusi kepada ilmu Aljabar sendiri.