Geometri, (Sepak)Bola, dan Geometri Bola

Apa sih Matematika itu? Mungkin banyak yang akan jawab kalau Matematika itu ilmu soal hitung-hitungan. Nggak sepenuhnya salah sih, tapi nggak sepenuhnya benar juga. Yuk kita ngobrol sedikit tentang sisi Matematika yang bukan hitung-hitungannya. Tenang, dijamin nggak bikin pusing kok obrolannya.

Buat saya, Matematika itu mirip sama olahraga permainan. Olahraga permainan punya aturan dasar dan aturan turunan. Misalnya aja dalam sepakbola ada aturan dasar: “Di dalam lapangan, bola nggak boleh kena tangan pemain selain keeper”. Pasti aturan dasar ini punya konsekuensi logis (kita panggil saja aturan-aturan turunan), contohnya: nggak boleh tangkap bola, nggak boleh pukul bola, nggak boleh nyikut bola dll. Nah kalau kita mau ajak teman yang belum pernah main bola, pasti perlu kasih tahu aturan mainnya. Tapi tentunya kita nggak akan mau kasih tahu semua aturan dasar dan turunannya dong; bisa ada ratusan atau ribuan kalau mau sedetail mungkin. Biar singkat, kita mau cukup kasih tahu aturan dasarnya saja.

Nah, Matematika juga begitu, aturan mainnya banyak tapi seringkali kurang jelas yang mana yang dasar yang mana yang turunan. Atau malah jangan-jangan di Matematika semua aturan itu dasar? Nggak ada yang jadi sebab dan yang jadi akibat? Nah ribuan tahun yang lalu, ada filusuf keren bernama Euclid yang menjawab pertanyaan ini. Dan jawabannya keren banget: Geometri itu cuma punya 5 aturan dasar

  1. “To draw a straight line from any point to any point.”
  2. “To produce [extend] a finite straight line continuously in a straight line.”
  3. “To describe a circle with any centre and distance [radius].”
  4. “That all right angles are equal to one another.”
  5. The parallel postulate: “That, if a straight line falling on two straight lines make the interior angles on the same side less than two right angles, the two straight lines, if produced indefinitely, meet on that side on which are the angles less than the two right angles.”
From storyofmathematics.com

Terus kenapa ini keren banget? Paling nggak karena beberapa alasan dan pertanyaan ini nih:

  1. Tentunya geometri jaman sekarang jauh lebih rumit daripada geometri di jaman Euclid ini (sekarang sih nama ngetopnya: Geometri Euclid). Tapi bukan berarti Geometri Euclid nggak punya beragam variasi. Dan semua keragaman itu bisa dirunut balik dari 5 aturan aja. Wow banget kan? Sepakbola juga pasti susah lho untuk cuma punya 5 aturan dasar yang relatif pendek.
  2. Banyak aturan di geometri yang kesannya obvious banget, misalnya yang satu ini: “Dua garis berbeda yang berpotongan pasti hanya berpotongan di satu titik”. Pasti kamu mau bilang “ya iya lah bro”. Nah kenapa bukan aturan ini “ya iyalah” ini yang jadi aturan dasar? Bagaimana Euclid bisa tahu (atau nebak) kalau aturan ini turunan dari 5 aturan di atas? Kenapa 5 di atas yang jadi aturan dasar? Kenapa kok cukup 5 aturan saja?
  3. Bagaimana Euclid tahu kalau dalam 5 ini semuanya adalah aturan dasar? Mungkinkah ada satu aturan yang (entah bagaimana caranya) merupakan turunan dari yang lain? Kenapa nggak bisa cuma 4 aturan? Bagaimana dia yakin bahwa semua turunan dari 5 aturan ini tidak akan ada yang saling kontradiksi?

Nah, dari analogi ini kelihatan juga bedanya Matematika dengan Ilmu Pengetahuan Alam. Walaupun IPA juga mencari aturan dasar paling sederhana (misalnya Hukum Newton yang cuma 3 kalimat atau persamaan Maxwell yang hanya 4 persamaan) tapi aturan Matematika seperti aturan permainan olahraga bukan sesuatu yang benar, tapi cuma dianggap benar. Peran aturan dasar Matematika lebih sebagai aturan main; secara umum belum tentu benar, tapi dalam permainan dianggap sebagai kebenaran. Ini sebabnya kenapa hukum Fisika perlu diuji kebenarannya dengan eksperimen tetapi aksioma Matematika tidak perlu dibuktikan kebenarannya. Jadi kalau ada yang bilang aksioma itu adalah kebenaran yang tidak perlu dibuktikan lagi itu sebenarnya bukan karena aksioma pasti benar, sama seperti “bola tak boleh kena tangan” itu nggak selalu benar. Pasti kalau main bola basket “bola tak boleh kena tangan” itu tidak benar, tapi kalau sedang bermain sepakbola tentunya aturan satu ini nggak perlu kita pertanyakan lagi.

Setelah Euclid, bermain dengan aturan dasar (aksioma) dan coba mendapat aturan turunan (proposisi, teorema, lemma, akibat) jadi pekerjaan utama orang-orang kurang kerjaan keren yang disebut matematikawan, termasuk saya 😀 Mungkin teman-teman sudah biasa dengar matematikawan itu suka mencari teorema dan formula, tapi mungkin nggak banyak yang tahu kalau kami juga suka mencoba buat permainan baru dengan bola dan lapangan (objek-objek) baru dan aturan-aturan baru. Ini cukup menantang lho. Tantangannya adalah membuat aturan dan objek olahraga baru yang cukup menarik, tidak boleh terlalu bebas (general) atau restriktif. Harus pas biar menarik dan berguna. Jangan terlalu banyak atau terlalu sedikit aturan. Mendefinisikan operasi matematika tanpa syarat seperti asosiatif atau komutatif ibarat sepakbola tanpa aturan tentang gol dan skor permainan. Pasti nggak seru kan nonton 22 orang yang berlarian berebut bola tanpa tujuan.

Fun Fact: Selama ratusan tahun, banyak ahli yang percaya dan coba buktikan kalau aksioma ke 5 Euclid adalah turunan dari 4 aksioma lainnya. Tapi gimana kalau mau buktikan sebaliknya?  Ambil contoh ini: Permainan Sepakbola1 adalah permainan yang didefinisikan sebagai permainan yang menaati 10 pasal. Misalkan juga Sepakbola2 adalah permainan yang menaati pasal 1-9 dari Sepakbola1. Bisa nggak Sepakbola2 dimainkan berbeda dari Sepakbola1? Kalau bisa, maka pasti pasal 10 bukan turunan dari pasal 1-9, tapi kalau nggak bisa maka pasal 10 adalah konsekuensi dari 1-9. Kalau bingung, kita ambil contoh kalau pasal 9: “Bola tak boleh kena tangan” dan pasal 10: “Tidak boleh lempar bola”. Di contoh ini, Sepakbola2 pasti sama saja dengan Sepakbola1 karena walaupun pasal 10 nggak ada di Sepakbola2 tetap saja pemain nggak boleh lempar bola karena larangan pasal 9.

Mirip seperti kasus Sepakbola 1 dan 2 di atas, ternyata ada lho sistem-sistem Geometri yang memenuhi aturan 1-4 tapi melanggar 5. Artinya pasal 5 Bung Euclid memang bukan konsekuensi dari pasal 1-4. Salah satunya adalah Geometri “Permukaan” Bola (Spherical Geometry). Ternyata jarak terpendek antara dua titik di permukaan bola adalah segmen dari great circle (lingkaran yang membelah bola menjadi 2 bagian sama luas, contohnya garis khatulistiwa dan garis bujur) antara mereka. Karena umumnya kita ingin segmen garis antara 2 titik adalah jalur terpendek yang menghubungkan, maka great circle inilah yang cocok kita definisikan sebagai “garis” di Spherical Geometry. Unik ya? Karena ini artinya jarak terpendek antara 2 titik yang berada di lintang yang sama (tapi bukan di khatulistiwa) pasti bukan melalui garis lintangnya. Dan bisa dicek kalau geometri ini memenuhi aturan 1-4 tapi melanggar aturan 5 karena tiap 2 great circle akan bertemu di tepat 2 titik. Contohnya garis bujur yang pasti bertemu garis bujur lain dan garis khatulistiwa di tepat 2 titik. Salah satu penerapan konsep satu ini adalah navigasi jarak terpendek untuk pesawat terbang, kalau tertarik monggo googling sendiri “Great Circle Navigation” 😉

From timeandnavigation.si.edu

Untuk penjelasan Matematika sederhana lainnya dari saya, silahkan klik di sini

How many times?

Last night, I read this posting from John Baez‘s blog and found a problem stated in that posting. The reason why I am reposting this problem is because this problem is another one that shows mathematical problem is sometimes is just a matter of viewpoint. From a certain viewpoint, there is a very elegant and trivial solution to this problem:

For starters, consider an ordinary ball rolling on another ordinary ball that’s the same size. How many times does the rolling ball turn as it makes a round trip around the stationary one? If you watch this you can see the answer:

Follow the line drawn on the little ball. It turns around not once, but twice!

Next, consider one ball rolling on another whose radius is 2 times as big. How many times does the rolling ball turn as it makes a round trip?

It turns around 3 times.

And this pattern continues! I don’t have animations proving it, so either take my word for it, read our paper, or show it yourself.

So, the assertion is that if a circle is rolling over another circle which radius is n times longer than the first circle, then the first circle will turns around (n+1) times to make a round trip. Try to prove it yourself! 🙂

Fractal Dimension

English: Sierpinski triangle, a fractal having...
English: Sierpinski triangle, a fractal having a Hausdorff dimension of ln3 / ln2 (which is approximately 1.58). (Photo credit: Wikipedia)

Today I sat in a lecture about Hausdorff dimension which is pretty technical and was very nice. However, what I am going to write is my own intuitive view on Hausdorff dimension. First, let us assume the fact that we have “n-dimensional volume” that are length for n=1, area for n=2 and well, volume, for n=3 and something that you can imagine for yourself for higher n. Now one characteristic of n-dimensional object is when you you dilate/magnify them by a factor, say K, then their new volume is K^n times the old volume. For example, take “n-dimensional cube” of volume 1 which are a line segment of length one for n=1, a square of sides one for n=2 and a cube of sides one for n=3. Note that when you dilate these “n-dim cube” by 2, their volume are 2 for n=1, 4=2 x 2 for n=2 and 8= 2 x 2 x2 for n=3. By this simple character, we can try to explain objects of non-integer dimension (regardless of whether they exist or not). For instance, if I want to say an object is a half-dimensional object, then when I dilate the object by a factor of 2 then I want the new volume to be 2^(1/2) of the old volume. One example for this object with non-integer dimension is Sierpinski triangle (the one on the picture). If you magnify the triangle by a factor of 2, then the “volume” of the triangle is 3 times the old volume. This suggests that the Hausdorff dimension of this triangle, is A where 2^A=3, that is A=ln3/ln2. This is of course not a proof, because the proof is somewhat much more complicated. But my point is that you can see this characterization is very intuitive.

The problem is, I wrote the above argument as if I do have the “volume” of this triangle. But as you may probably try to compute yourself, defining the “volume” of this triangle is not a trivial matter.  Hausdorff does this by introducing the so called Hausdorff measure, which is parametrized by dimension. And although the definition of this measure is not trivial at all, the usage of this measure to prove a certain object has a certain dimension is really intuitive. You say a dimension of an object is D when its “A-dimensional volume” is infinite when A<D and its “A-dim volume” is 0 when A>D. Why I say this very intuitive is because when we compare to the discrete dimension again, a 2-dim object has infinite 1-dim volume (length) and 0 3-dim volume (volume). And my point is that with these measure and dimension being so intuitive, it will be easy to remember the definition and although it may hard to prove that a certain object has a certain dimension, computing that dimension is a much easier task.

Berkenalan dengan Catastrophe Theory

Pitchfork bifurcation at on the surface
Pitchfork bifurcation at on the surface (Photo credit: Wikipedia)

Barusan saat sedang beres-beres file, saya ketemu sebuah file yang judulnya Berkenalan dengan Catastrophe Theory.doc. Ternyata ini adalah tulisan saya beberapa tahun yang lalu untuk tugas kuliah Bahasa Indonesia di ITB, tahun 2007 sepertinya. Saya copy paste saja yah ke sini, malas edit-edit lagi. Mudah-mudahan bermanfaat

Berkenalan dengan Catastrophe Theory

Catastrophe Theory adalah salah satu cabang yang cukup baru dalam ilmu matematika. Teori tersebut biasanya dibahas sebagai pengenalan terhadap teori bifurkasi dan sistem dinamik, dua bidang penelitian yang sangat aktif dalam matematika. Dunia Matematika sendiri baru berkenalan dengan teori ini sekitar tahun 1960 dan teori ini baru dikenal luas para matematikawan sekitar tahun 1970. Teori ini diperkenalkan oleh Rene Thom, seorang matematikawan Prancis, pada Konferensi Matematika Internasional ICM pada tahun 1958. Pada saat itu Thom menerima medali Fields (penghargaan tertinggi dalam bidang matematika yang mungkin dapat dianggap seperti nobel untuk matematika) atas karyanya klasifikasi dari tujuh buah catastrophe dasar.

Dalam bahasa sehari-hari catastrophe dapat diartikan sebagai malapetaka yang tidak disangka-sangka sebelumnya atau bencana alam, contohnya gempa bumi, kejatuhan harga saham mendadak, atau serangan jantung. Bencana tersebut tidak disangka-sangka karena semua perubahan yang mempengaruhi kejadian berubah secara perlahan-lahan. Akan tetapi sebuah diskontinuitas, suatu lompatan radikal, hadir dan menghancurkan segala keteraturan. Hal inilah yang dipelajari dalam catastrophe theory, yaitu dampak dari perubahan yang nyaris tidak dapat dirasakan menghasilkan akibat yang dapat melemparkan suatu sistem yang berperilaku baik menjadi liar.

Terdapat perbedaan antara catastrophe theory, dengan chaos theory yang sudah terlebih dahulu dikenal orang. Chaos theory membicarakan tentang sebuah sistem yang rumit, tak dapat diperkirakan dan tidak dapat disederhanakan, atau dapat disebut liar dari awal. Sedangkan catastrophe theory umumnya membicarakan sistem sederhana, berperilaku baik dan teratur, menganalisis titik-titik kritisnya dan menjelaskan lompatan-lompatan radikal yang terjadi saat melewati titik-titik tersebut secara kontinu atau perlahan-lahan. Bagaimanapun kedua teori tersebut memang memiliki kemiripan dan materinya kerap beririsan, dan seringkali metode analisis yang diterapkan serupa. Chaos theory juga memiliki hubungan yang erat dengan teori bifurkasi dan sistem dinamik. Keduanya juga merupakan teori yang sangat cantik dan menarik untuk dipelajari.

Salah satu jantung catastrophe theory adalah tujuh catastrophe dasar Thom. Klasifikasi tujuh catastrophe dasar ini disusun oleh Rene Thom berdasarkan persamaan matematika yang terlibat dan struktur umum yang dapat diamati. Tujuh catastrophe dasar tersebut berturut-turut dari yang paling sederhana adalah fold, cusp, swallowtail, butterfly, hyperbolic umbilic, elliptic umbilic dan parabolic umbilic. Alasan ketujuh catastrophe dasar ini sangat penting adalah karena saat parameter yang digunakan lebih dari lima, akan muncul tak hingga banyaknya jenis catastrophe, sedangkan untuk banyaknya parameter kurang dari lima hanya terdapat tujuh catastrophe tersebut. Artinya di bidang apapun seseorang menganalisis masalahnya dengan matematika dan mendapatkan model matematika yang mempunyai parameter kurang dari lima, hanya salah satu dari tujuh kasus tersebut yang mungkin terjadi. Hal ini akan sangat menguntungkan; seorang nonmatematikawan dapat menyelesaikan permasalahannya tanpa harus melakukan perhitungan matematika yang rumit. Dalam analisis masalah, orang tersebut hanya perlu mengidentifikasi jenis catastrophe yang dihadapi dengan dan otomatis mengetahui sifat-sifat umum catastrophe tersebut yang sudah disusun oleh Thom, tanpa perlu mengulangi analisis yang dilakukan oleh Thom.

Selain Rene Thom, ilmuan yang sangat kontributif bagi perkembangan catastrophe theory adalah  seorang matematikawan Inggris Sir Christopher Zeeman. Zeeman menemukan mesin catastrophe Zeeman, sebuah alat peraga yang yang dapat menggambarkan lompatan radikal yang kompleks secara sangat sederhana. Selain itu Zeeman juga menunjukkan contoh penerapan catastrophe dalam bidang kedokteran yaitu model matematika untuk jantung dan model matematika untuk impuls syaraf. Popularitas catastrophe theory pada saat ini pun dapat dikatakan merupakan hasil usaha Christopher Zeeman dalam merangkum karya rumit Thom sehingga dapat ia diajarkan pada tingkat sarjana di Universitas Warwick. Karena sangat populernya kelas Zeeman waktu itu, sebagian besar mahasiswa yang menghadiri kuliah terpaksa mengikuti kuliah tersebut sambil berdiri.

Penerapan dari catastrophe theory tidak hanya pada bidang sains, dan teknik tetapi juga pada bidang kemanusiaan. Dalam bidang fisika, penerapan dari teori cantik ini dapat ditemukan pada mekanika klasik, mekanika struktural, dinamika fluida, optik, termodinamika, dan meteorologi. Selain itu dapat pula ditemukan penerapan dari catastrophe theory dalam biologi, ekologi dan kedokteran.  Penerapan dalam bidang kemanusiaan mencakup sosiologi, ekonomi dan linguistik. Beberapa penerapan dari catastrophe theory memang harus diakui cukup kontroversial, tetapi teori matematika yang dilibatkan tentu saja tidak dapat diperdebatkan, karena kontroversi tersebut dihasilkan dari asumsi-asumsi terhadap masalah.

Catastrophe theory terbukti merupakan peralatan yang sangat ampuh bagi seorang matematikawan. Baik matematikawan murni maupun terapan akan terpesona melihat keindahan, kesederhanaan dan kekuatan teori ini. Sayangnya di Indonesia teori ini tidak diperkenalkan di tingkat kuliah sarjana. Selain itu, sampai saat ini belum ada matematikawan di Indonesia meneliti di bidang ini secara mendalam. Harapan kita adalah di masa mendatang hadir matematikawan yang mampu menghasilkan karya-karya bertaraf internasional dari bidang ini.

Kemacetan Jakarta Adalah Prisoner’s Dilemma

Although being out of prison is necessary to n...
Image via Wikipedia

Prisoner’s dilemma adalah contoh paling mudah dari analisis game theory. Saya cerita sedikit ya untuk yang belum tahu.

Ada dua orang yang melakukan kejahatan dan akhirnya ditangkap polisi. Karena kurang bukti, akhirnya polisi memisahkan interogasi dua orang ini dan meminta mereka bersaksi bahwa temannya yang bersalah. Kalau satu orang mengadukan partnernya dan satu orang lagi diam, maka yang mengadu akan bebas dan yang diam dihukum setahun penjara. Kalau keduanya diam, mereka berdua hanya akan dipenjara sebulan. Kalau dua-duanya saling mengadu, maka keduanya akan dipenjara 3 bulan.

Marilah kita melihat situasinya sebagai salah satu dari dua orang itu sebagai berikut.

  • Kalau teman saya mengadukan saya dan saya tidak mengadu, saya dipenjara setahun. Kalau saya ikut mengadu, saya dipenjara 3 bulan. Maka kalau teman saya mengadu, lebih untung kalau saya ikut mengadu.
  • Kalau teman saya tidak mengadukan saya dan saya juga diam, saya dipenjara sebulan. Kalau saya mengadu, saya langsung bebas. Jadi kalau teman saya tidak mengadu, tetap lebih untung kalau saya mengadu.

Jadi mengadukan teman (selalu) merupakan keputusan (individual) terbaik untuk meminimalkan waktu dalam penjara. Nah, bayangkan kalau keduanya berpikir begitu, akhirnya mereka berdua saling mengadukan dan mendekam tiga bulan dalam penjara. Padahal kalau mereka sama-sama diam lebih menguntungkan dan bisa bebas dalam sebulan. Inilah secara singkat apa yang disebut sebagai prisoner’s dilemma.

Apa hubungannya dengan kemacetan Jakarta? Salah satu sebab macet di Jakarta adalah semua orang mau cepat sampai tujuan sendiri dan tidak mementingkan yang terbaik bagi semua. Akibatnya terjadilah salip serobot dan pelanggaran-pelanggaran peraturan dan etika berkendara lainnya. Padahal kalau sama-sama tertib, sama-sama antri niscaya perjalanan akan lebih cepat untuk semua. Ya kembali lagi seperti prisoner’s dilemma, bahwa ternyata keputusan terbaik individual bukan keputusan terbaik kolektif dan pada akhirnya merugikan dirinya sendiri sebagai anggota koleksi itu. Yuk sama-sama tertib di jalan 🙂

Untuk penjelasan Matematika sederhana lainnya dari saya, silahkan klik di sini.

Alternative way to remember your Trigonometric Addition formula

An illustration of a complex number plotted on...
Image via Wikipedia

Not the type to remember your formula? Me too

I never remember my formula until one or two days before test and it practically vanished from my mind 5 minutes after the test is over. However, I usually have ways so I can derive them when I need them without peeking at my books.

One of them is trigonometric addition formulas.. You know cos (a+b) = … and sin (a+b) = …

My way to remember them require a little geometric intuition about complex numbers. For every complex number with modulus 1, the number can be written as cos a + i sin a (cis a) for a particular angle a where a is the angle between the vector a and positive x axis. If you multiply the number with another complex number of modulus 1, say cis b, you know that geometrically you just rotate a by angle b. That is, cis a * cis b = cis (a+b).

That way, by calculating the terms on the left side, and by grouping the terms with i and without i, you get your formula for cos (a+b) and sin (a+b) right away. Apply division, then you also get your tan (a+b) as well.

Pelit asumsi

Hari ini saya baru dapat satu pertanyaan bagus dari junior saya, tapi sebelum masuk ke pertanyaannya saya mau kasih latar belakangnya dulu:

Latar Belakang

Junior saya sedang belajar tentang kardinalitas (jumlah elemen) himpunan, satu teori yang lumayan fundamental di matematika. Pertama, didefinisikan dulu apa itu hingga dan tak hingga:

1. Suatu himpunan disebut hingga jika himpunan tersebut kosong atau jika terdapat korespondensi satu-satu dari {1,2,…, n} ke himpunan tersebut (n suatu bil asli).
2. Suatu himpunan disebut tak hingga jika himpunan tersebut tidak hingga.

Lalu kemudian diturunkan sebuah teorema:
A subhimpunan dari B, berlaku
1. Jika B hingga, maka A hingga
2. Jika A tak hingga, maka B tak hingga

Lalu muncul pertanyaan dari junior saya: Kok ini teorema? Kenapa ini perlu dibuktikan? Bukannya ini sudah jelas (semua orang tahu)?

Teorema kok begini saja, cemen dan obvious, mungkin itu yang ada dalam pikiran teman-teman non matematikawan.

Kalau contoh di atas sih masih mending. Yang lebih ekstrim itu teorema yang bilang kalau 1 tidak sama dengan 0 yang bikin saya dan @fajrinrasyid tertawa-tawa saat pelatihan olimpiade. Omg, 10 itu teorema? LOL

Lucunya untuk matematikawan hal seperti ini sangat wajar. Kami (matematikawan) senang untuk mendefinisikan, mengasumsikan, memberi syarat seminimal mungkin dan menurunkan semua hal lainnya dari yang sedikit itu. Bahkan hal-hal yang sepertinya sudah jelas seperti teorema di atas.

Kok susah-susah?

Oke mari kita melihat analogi yang satu ini, tidak sama (ya namanya saja analogi), tapi mengandung nilai yang serupa. Ada yang pernah buka lagi buku fisika/matematika jaman sma? Kalau dilihat soalnya biasanya bertanya: Berapakah …? (Titik-titik bisa diisi kecepatan, volume, usaha dll) jika diketahui nilai beberapa parameter. Masukkan nilai-nilai parameter ini ke dalam rumus, dan keluar jawabannya.

Sayangnya, soal-soal ini sangat tidak real. Jika rumusnya butuh 5 parameter, biasanya di soal diberi 5 parameter. Coba di dunia nyata, belum tentu kita punya nilai satu parameter pun. Semua nilai parameter didapatkan dengan cara mengukur. Atau kalau sudah asal-asalan mengukur, didapat 7 parameter, sekarang rumus yang bisa dipakai ada banyak bingung mau pakai yang mana 😀

Mendapatkan nilai parameter itu biasanya butuh pengukuran. Dan sayangnya pengukuran itu biasanya butuh uang, ya paling tidak butuh usaha. Jadi wajar kan kalau kita lebih senang kalau perhitungan kita melibatkan sesedikit mungkin parameter. Kalaupun banyak, lebih baik kalau beberapa parameter bisa diturunkan dari parameter yang lain. Nah, matematika juga mirip, kita lebih senang kalau asumsinya sedikit dan semua hasil lain merupakan turunannya.

Contoh lain: Teman-teman yang pernah skripsi/tesis mungkin menggunakan asumsi. Berapa asumsi yang teman-teman pakai? Satu? Dua? Tiga? Kenapa bukan dua puluh? 😀

Contoh lain: Teman-teman di fisika atau teknik elektro biasanya kenal dengan persamaan Maxwell. Ada berapa persamaan Maxwell? Kenapa tidak lebih? Kenapa tidak kurang? 😀

Encryption vs Password Protection

Native encryption
Image via Wikipedia

Someone I know is currently involved in a project associated with acquisition, transfer, storing, and processing confidential data. As I have an experience with IT security, I was asked about which encryption method suits the problem the best. When I listened carefully to the problem, I asked to clarify: “Do you really need encryption? Or password should be sufficient?”

What are the difference between cryptography and password protection anyway? The following is the illustration contrasting those two. Imagine that you have a secret document that you do not want others but few number of people to read. If you put it in a box and put a padlock to seal the box, that’s password protection. If you on the other hand, translate the document into codes that only you and few others can read and then burn the original document, then that is encryption.

The next question would be: which one is safer? Is one method more secure than the other? I would say that depends on the necessity, though generally speaking encryption is the safer method. However if that makes you think it is always better to use encryption, then there are some aspects you should consider.

  • For password, size of the documents should not matter that much. Basically it does not make any difference to the padlock if you put 5 pages or 50 pages of documents into the box. While for encryption, you will need more effort to code 50 pages rather than just 5 pages. Let us not forget the one who want to read the document will also have to translate all those 50 pages, especially if there are many parties to read those. This process is called decryption by the way.
  • For data distributing, encryption should be safer. If you send a message in a locked box and then someone intentionally break that box and read your message, then you are done for. However if you are sending coded message, even when it is intercepted, the interceptor would not be able to read the message (assuming only the intended readers know the code that is).

There are also consideration of strong/weak password and strong/weak encryption, in analogy to strong/weak padlock and hard/easy code. In computer, stronger in both terms means more computational power needed.

As I learned the project requirement, I came up with this suggestion:

  • For storage, as the data amount is enormous, strong encryption will make data reading and processing slower. Therefore, good password is better than choosing a half-good encryption for instance.
  • For distribution, it turns out that the data has two parts: highly confidential (small size) and low confidentiality (large size). I recommended using encryption for the high confidential data and simply zip-password the other.

There are pros and cons of every method. By writing this, I hope this discussion can help you understand which method better suits which need. In my friend’s case, the above discussion was proven to be exceptionally handy. Just saying B-)

For more Mathematics in Layman’s terms posts from me, click here.

A Combinatorics Problem

Deep down inside we all love math T-shirt
Image by Network Osaka via Flickr

Let 1,2,3,...,n be an ascending sequence of number. If swapping the i^{th} and {i+1}^{th} position is considered as one step for i \in \{1,...,n-1\}, then determine the least number of steps needed to reorder the sequence to be a descending one (n,n-1,...,1).  How can you be sure that your number is indeed the least number of steps?

P.S. Even though this problem looks like a toy problem, it definitely isn’t. This is a dumbing down version of a real problem I’ve solved in using a computer program before. I really saved a lot of time by solving this problem 😀

The barber that shaves all and only those who do not shave themselves

This is not a posting about shaving/barber.. but this may change your perspective about shaving.. forever. Okay I exaggerated, that’s only me I guess 😀 This is actually a posting about a logical puzzle and paradox, and no shaving experience is required to understand this paradox 😆 The antimony itself is the following:

Suppose there is this hypothetical village where all male citizens keep their face clean from hair by shaving. There’s only one barber there, and this barber shaves all and only those men who do not shave themselves. The question is, given that the barber is a male.. who shave the barber?

The only possible answer is.. the barber himself, of course. Since from the sentence “… this barber shaves all and only those men who do not shave themselves” we know that any man in the village is either shaved by himself or by the barber. So the barber can only be shaved by himself (the barber) or by the barber. However, is it true that the barber shave himself. Owh.. come on Hafiz, how often have I said to you that when you have eliminated the impossible, whatever remains, however improbable, must be the truth?
Continue reading “The barber that shaves all and only those who do not shave themselves”